1) Область определения функции и область значений функции .
Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x ), при которых функция y = f(x) определена. Область значений функции - это множество всех действительных значений y , которые принимает функция.
В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.
2) Нули функции .
Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.
3) Промежутки знакопостоянства функции .
Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.
4) Монотонность функции .
Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
5) Четность (нечетность) функции .
Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x) . График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x ). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
6) Ограниченная и неограниченная функции .
Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.
7) Периодическость функции .
Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).
19. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Применение функ-ций в экономике.
Основные элементарные функции. Их свойства и графики
1. Линейная функция.
Линейной функцией называется функция вида , где х - переменная, а и b - действительные числа.
Число а называют угловым коэффициентом прямой, он равен тангенсу угла наклона этой прямой к положительному направлению оси абсцисс. Графиком линейной функции является прямая линия. Она определяется двумя точками.
Свойства линейной функции
1. Область определения - множество всех действительных чисел: Д(y)=R
2. Множество значений - множество всех действительных чисел: Е(у)=R
3. Функция принимает нулевое значение при или.
4. Функция возрастает (убывает) на всей области определения.
5. Линейная функция непрерывная на всей области определения, дифференцируемая и .
2. Квадратичная функция.
Функция вида , где х - переменная, коэффициенты а, b, с - действительные числа, называетсяквадратичной.
Знание основных элементарных функций, их свойств и графиков не менее важно, чем знание таблицы умножения. Они как фундамент, на них все основано, из них все строится и к ним все сводится.
В этой статье мы перечислим все основные элементарные функции, приведем их графики и дадим без вывода и доказательств свойства основных элементарных функций по схеме:
- поведение функции на границах области определения, вертикальные асимптоты (при необходимости смотрите статью классификация точек разрыва функции);
- четность и нечетность;
- промежутки выпуклости (выпуклости вверх) и вогнутости (выпуклости вниз), точки перегиба (при необходимости смотрите статью выпуклость функции, направление выпуклости, точки перегиба, условия выпуклости и перегиба);
- наклонные и горизонтальные асимптоты;
- особые точки функций;
- особые свойства некоторых функций (например, наименьший положительный период у тригонометрических функций).
Если Вас интересует или , то можете перейти к этим разделам теории.
Основными элементарными функциями являются: постоянная функция (константа), корень n -ой степени, степенная функция, показательная, логарифмическая функция, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
Навигация по странице.
Постоянная функция.
Постоянная функция задается на множестве всех действительных чисел формулой , где C – некоторое действительное число. Постоянная функция ставит в соответствие каждому действительному значению независимой переменной x одно и то же значение зависимой переменной y – значение С . Постоянную функцию также называют константой.
Графиком постоянной функции является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку с координатами (0,C) . Для примера покажем графики постоянных функций y=5 , y=-2 и , которым на рисунке, приведенном ниже, отвечают черная, красная и синяя прямые соответственно.
Свойства постоянной функции.
- Область определения: все множество действительных чисел.
- Постоянная функция является четной.
- Область значений: множество, состоящее из единственного числа С .
- Постоянная функция невозрастающая и неубывающая (на то она и постоянная).
- Говорить о выпуклости и вогнутости постоянной не имеет смысла.
- Асимптот нет.
- Функция проходит через точку (0,C) координатной плоскости.
Корень n -ой степени.
Рассмотрим основную элементарную функцию, которая задается формулой , где n – натуральное число, большее единицы.
Корень n -ой степени, n - четное число.
Начнем с функции корень n -ой степени при четных значениях показателя корня n .
Для примера приведем рисунок с изображениями графиков функций и , им соответствуют черная, красная и синяя линии.
Аналогичный вид имеют графики функций корень четной степени при других значениях показателя.
Свойства функции корень n -ой степени при четных n .
Корень n -ой степени, n - нечетное число.
Функция корень n -ой степени с нечетным показателем корня n определена на всем множестве действительных чисел. Для примера приведем графики функций и , им соответствуют черная, красная и синяя кривые.
При других нечетных значениях показателя корня графики функции будут иметь схожий вид.
Свойства функции корень n -ой степени при нечетных n .
Степенная функция.
Степенная функция задается формулой вида .
Рассмотрим вид графиков степенной функции и свойства степенной функции в зависимости от значения показателя степени.
Начнем со степенной функции с целым показателем a . В этом случае вид графиков степенных функций и свойства функций зависят от четности или нечетности показателя степени, а также от его знака. Поэтому сначала рассмотрим степенные функции при нечетных положительных значениях показателя a , далее - при четных положительных, далее - при нечетных отрицательных показателях степени, и, наконец, при четных отрицательных a .
Свойства степенных функций с дробными и иррациональными показателями (как и вид графиков таких степенных функций) зависят от значения показателя a . Их будем рассматривать, во-первых, при a от нуля до единицы, во-вторых, при a больших единицы, в-третьих, при a от минус единицы до нуля, в-четвертых, при a меньших минус единицы.
В заключении этого пункта для полноты картины опишем степенную функцию с нулевым показателем.
Степенная функция с нечетным положительным показателем.
Рассмотрим степенную функцию при нечетном положительном показателе степени, то есть, при а=1,3,5,… .
На рисунке ниже приведены графики степенных фнукций – черная линия, – синяя линия, – красная линия, – зеленая линия. При а=1 имеем линейную функцию y=x .
Свойства степенной функции с нечетным положительным показателем.
Степенная функция с четным положительным показателем.
Рассмотрим степенную функцию с четным положительным показателем степени, то есть, при а=2,4,6,… .
В качестве примера приведем графики степенных функций – черная линия, – синяя линия, – красная линия. При а=2 имеем квадратичную функцию, графиком которой является квадратичная парабола .
Свойства степенной функции с четным положительным показателем.
Степенная функция с нечетным отрицательным показателем.
Посмотрите на графики степенной функции при нечетных отрицательных значениях показателя степени, то есть, при а=-1,-3,-5,… .
На рисунке в качестве примеров показаны графики степенных функций – черная линия, – синяя линия, – красная линия, – зеленая линия. При а=-1 имеем обратную пропорциональность , графиком которой является гипербола .
Свойства степенной функции с нечетным отрицательным показателем.
Степенная функция с четным отрицательным показателем.
Перейдем к степенной функции при а=-2,-4,-6,… .
На рисунке изображены графики степенных функций – черная линия, – синяя линия, – красная линия.
Свойства степенной функции с четным отрицательным показателем.
Степенная функция с рациональным или иррациональным показателем, значение которого больше нуля и меньше единицы.
Обратите внимание! Если a - положительная дробь с нечетным знаменателем, то некоторые авторы считают областью определения степенной функции интервал . При этом оговариваются, что показатель степени a – несократимая дробь. Сейчас авторы многих учебников по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Мы будем придерживаться именно такого взгляда, то есть, будем считать областями определения степенных функций с дробными положительными показателями степени множество . Рекомендуем учащимся узнать взгляд Вашего преподавателя на этот тонкий момент, чтобы избежать разногласий.
Рассмотрим степенную функцию с рациональным или иррациональным показателем a , причем .
Приведем графики степенных функций при а=11/12 (черная линия), а=5/7 (красная линия), (синяя линия), а=2/5 (зеленая линия).
Степенная функция с нецелым рациональным или иррациональным показателем, большим единицы.
Рассмотрим степенную функцию с нецелым рациональным или иррациональным показателем a , причем .
Приведем графики степенных функций, заданных формулами (черная, красная, синяя и зеленая линии соответственно).
>При других значениях показателя степени a , графики функции будут иметь схожий вид.
Свойства степенной функции при .
Степенная функция с действительным показателем, который больше минус единицы и меньше нуля.
Обратите внимание! Если a - отрицательная дробь с нечетным знаменателем, то некоторые авторы считают областью определения степенной функции интервал . При этом оговариваются, что показатель степени a – несократимая дробь. Сейчас авторы многих учебников по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Мы будем придерживаться именно такого взгляда, то есть, будем считать областями определения степенных функций с дробными дробными отрицательными показателями степени множество соответственно. Рекомендуем учащимся узнать взгляд Вашего преподавателя на этот тонкий момент, чтобы избежать разногласий.
Переходим к степенной функции , кгода .
Чтобы хорошо представлять вид графиков степенных функций при , приведем примеры графиков функций (черная, красная, синяя и зеленая кривые соответственно).
Свойства степенной функции с показателем a , .
Степенная функция с нецелым действительным показателем, который меньше минус единицы.
Приведем примеры графиков степенных функций при , они изображены черной, красной, синей и зеленой линиями соответственно.
Свойства степенной функции с нецелым отрицательным показателем, меньшим минус единицы.
При а=0 и имеем функцию - это прямая из которой исключена точка (0;1) (выражению 0 0 условились не придавать никакого значения).
Показательная функция.
Одной из основных элементарных функций является показательная функция.
График показательной функции , где и принимает различный вид в зависимости от значения основания а . Разберемся в этим.
Сначала рассмотрим случай, когда основание показательной функции принимает значение от нуля до единицы, то есть, .
Для примера приведем графики показательной функции при а = 1/2 – синяя линия, a = 5/6 – красная линия. Аналогичный вид имеют графики показательной функции при других значениях основания из интервала .
Свойства показательной функции с основанием меньшим единицы.
Переходим к случаю, когда основание показательной функции больше единицы, то есть, .
В качестве иллюстрации приведем графики показательных функций – синяя линия и – красная линия. При других значениях основания, больших единицы, графики показательной функции будут иметь схожий вид.
Свойства показательной функции с основанием большим единицы.
Логарифмическая функция.
Следующей основной элементарной функцией является логарифмическая функция , где , . Логарифмическая функция определена лишь для положительных значений аргумента, то есть, при .
График логарифмической функции принимает различный вид в зависимости от значения основания а .
Полный перечень основных элементарных функций
К классу основных элементарных функций относятся следующие:
- Постоянная функция $y=C$, где $C$ -- константа. Такая функция принимает одно и то же значение $C$ при любом $x$.
- Степенная функция $y=x^{a} $, где показатель степени $a$ -- действительное число.
- Показательная функция $y=a^{x} $, где основание степени $a>0$, $a\ne 1$.
- Логарифмическая функция $y=\log _{a} x$, где основание логарифма $a>0$, $a\ne 1$.
- Тригонометрические функции $y=\sin x$, $y=\cos x$, $y=tg\, x$, $y=ctg\, x$, $y=\sec x$, $y=A>\sec \, x$.
- Обратные тригонометрические функции $y=\arcsin x$, $y=\arccos x$, $y=arctgx$, $y=arcctgx$, $y=arc\sec x$, $y=arc\, \cos ec\, x$.
Степенные функции
Поведение степенной функции $y=x^{a} $ рассмотрим для тех простейших случаев, когда её показатель степени определяет целочисленные возведение в степень и извлечение корня.
Случай 1
Показатель степени функции $y=x^{a} $ -- натуральное число, то есть $y=x^{n} $, $n\in N$.
Если $n=2\cdot k$ -- четное число, то функция $y=x^{2\cdot k} $ -- четная и неограниченно возрастает как при неограниченном возрастании аргумента $\left(x\to +\infty \right)$, так и при неограниченном его убывани $\left(x\to -\infty \right)$. Такое поведение функции можно описать выражениями $\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } x^{2\cdot k} =+\infty $ и $\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } x^{2\cdot k} =+\infty $, которые означают, что функция в обоих случаях неограниченно возрастает ($\lim $ -- предел). Пример: график функции $y=x^{2} $.
Если $n=2\cdot k-1$ -- нечетное число, то функция $y=x^{2\cdot k-1} $ -- нечетная, неограниченно возростает при неограниченном возрастании аргумента и неограниченно убывает при неограниченном его убывании. Такое поведение функции можно описать выражениями $\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } x^{2\cdot k-1} =+\infty $ и $\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } x^{2\cdot k-1} =-\infty $. Пример: график функції $y=x^{3} $.
Случай 2
Показатель степени функци $y=x^{a} $ -- целое отрицательное число, то есть $y=\frac{1}{x^{n} } $, $n\in N$.
Если $n=2\cdot k$ -- четное число, то функция $y=\frac{1}{x^{2\cdot k} } $ -- четная и асимптотически (постепенно) приближается к нулю как при неограниченном возрастании аргумента, так и при неограниченном его убывании. Такое поведение функции можно описать единым выражением $\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{1}{x^{2\cdot k} } =0$, которое означает, что при неограниченном возрастании аргумента по абсолютной величине предел функции равен нулю. Кроме того, при стремлении аргумента к нулю как слева $\left(x\to 0-0\right)$, так и справа $\left(x\to 0+0\right)$, функция неограниченно возрастает. Поэтому справедливы выражения $\mathop{\lim }\limits_{x\to 0-0} \frac{1}{x^{2\cdot k} } =+\infty $ и $\mathop{\lim }\limits_{x\to 0+0} \frac{1}{x^{2\cdot k} } =+\infty $, которые означают, что функция $y=\frac{1}{x^{2\cdot k} } $ в обоих случаях имеет бесконечный предел, равный $+\infty $. Пример : график функции $y=\frac{1}{x^{2} } $.
Если $n=2\cdot k-1$ -- нечетное число, то функция $y=\frac{1}{x^{2\cdot k-1} } $ -- нечетная и асимптотически приближается к нулю как при неограниченном возрастании аргумента, так и при неограниченном его убывании. Такое поведение функции можно описать единым выражением $\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{1}{x^{2\cdot k-1} } =0$. Кроме того, при приближении аргумента к нулю слева функция неограниченно убывает, а при приближении аргумента к нулю справа функция неограниченно возрастает, то есть $\mathop{\lim }\limits_{x\to 0-0} \frac{1}{x^{2\cdot k-1} } =-\infty $ и $\mathop{\lim }\limits_{x\to 0+0} \frac{1}{x^{2\cdot k-1} } =+\infty $. Пример : график функции $y=\frac{1}{x} $.
Случай 3
Показатель степени функции $y=x^{a} $ -- число, обратное к натуральному, то есть $y=\sqrt[{n}]{x} $, $n\in N$.
Если $n=2\cdot k$ -- четное число, то функция $y=\pm \sqrt[{2\cdot k}]{x} $ является двузначной и определена только при $x\ge 0$. При неограниченном возрастании аргумента значение функции $y=+\sqrt[{2\cdot k}]{x} $ неограниченно возрастает, а значение функции $y=-\sqrt[{2\cdot k}]{x} $ неограниченно убывает, то есть $\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \left(+\sqrt[{2\cdot k}]{x} \right)=+\infty $ и $\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \left(-\sqrt[{2\cdot k}]{x} \right)=-\infty $. Пример: график функции $y=\pm \sqrt{x} $.
Если $n=2\cdot k-1$ -- нечетное число, то функция $y=\sqrt[{2\cdot k-1}]{x} $ -- нечетная, неограниченно возрастает при неограниченном возрастании аргумента и неограниченно убывает при неограниченном его убывает, то есть $\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \sqrt[{2\cdot k-1}]{x} =+\infty $ и $\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } \sqrt[{2\cdot k-1}]{x} =-\infty $. Пример: график функции $y=\sqrt[{3}]{x} $.
Показательная и логарифмическая функции
Показательная $y=a^{x} $ и логарифмическая $y=\log _{a} x$ функции являются взаимно обратными. Их графики симметричны относительно общей биссектрисы первого и третьего координатных углов.
При неограниченном возрастании аргумента $\left(x\to +\infty \right)$ показательная функция или неограниченно возрастает $\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } a^{x} =+\infty $, если $a>1$, или асимптотически приближается к нулю $\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } a^{x} =0$, если $a1$, или неограниченно возрастает $\mathop{\lim }\limits_{x\to -\infty } a^{x} =+\infty $, если $a
Характерным значением для функции $y=a^{x} $ является значение $x=0$. При этом все показательные функции, независимо от $a$, обязательно пересекают ось $Oy$ при $y=1$. Примеры: графики функций $y=2^{x} $ и $y = \left (\frac{1}{2} \right)^{x} $.
Логарифмическая функция $y=\log _{a} x$ определена только при $x > 0$.
При неограниченном возрастании аргумента $\left(x\to +\infty \right)$ логарифмическая функция или неограниченно возрастает $\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \log _{a} x=+\infty $, если $a>1$, или неограниченно убывает $\mathop{\lim }\limits_{x\to +\infty } \log _{a} x=-\infty $, если $a1$, или неограниченно возрастает $\mathop{\lim }\limits_{x\to 0+0} \log _{a} x=+\infty $, если $a
Характерным значением для функции $y=\log _{a} x$ является значение $y=0$. При этом все логарифмические функции, независимо от $a$, обязательно пересекают ось $Ox$ при $x=1$. Примеры: графики функций $y=\log _{2} x$ и $y=\log _{1/2} x$.
Некоторые логарифмические функции имеют специальные обозначения. В частности, если основание логарифма $a=10$, то такой логарифм называется десятичным, а соответствующая функция записывается как $y=\lg x$. А если основанием логарифма выбирается иррациональное число $e=2,7182818\ldots $, то такой логарифм называется натуральным, а соответствующая функция записывается как $y=\ln x$. Обратной к ней является функция $y=e^{x} $, называемая экспонентой.
Раздел содержит справочный материал по основным элементарным функциям и их свойствам. Приводится классификация элементарных функций. Ниже даны ссылки на подразделы, в которых рассматриваются свойства конкретных функций - графики, формулы, производные, первообразные (интегралы), разложения в ряды, выражения через комплексные переменные.
СодержаниеСтраницы со справочным материалом по элементарным функциям
Классификация элементарных функций
Алгебраическая функция
- это функция, которая удовлетворяет уравнению:
,
где - многочлен от зависимой переменной y
и независимой переменной x
.
Его можно записать в виде:
,
где - многочлены.
Алгебраические функции делятся на многочлены (целые рациональные функции), рациональные функции и иррациональные функции.
Целая рациональная функция
, которая также называется многочленом
или полиномом
, получается из переменной x
и конечного числа чисел с помощью арифметических действий сложения (вычитания) и умножения. После раскрытия скобок, многочлен приводится к каноническому виду:
.
Дробно-рациональная функция
, или просто рациональная функция
, получается из переменной x
и конечного числа чисел с помощью арифметических действий сложения (вычитания), умножения и деления. Рациональную функцию можно привести к виду
,
где и - многочлены.
Иррациональная функция
- это алгебраическая функция, не являющаяся рациональной. Как правило, под иррациональной функцией понимают корни и их композиции с рациональными функциями. Корень степени n
определяется как решение уравнения
.
Он обозначается так:
.
Трансцендентными функциями называются неалгебраические функции. Это показательные, тригонометрические, гиперболические и обратные к ним функции.
Обзор основных элементарных функций
Все элементарные функции можно представить в виде конечного числа операций сложения, вычитания, умножения и деления, произведенных над выражением вида:
z t
.
Обратные функции могут выражаться также через логарифмы. Ниже перечислены основные элементарные функции.
Степенная функция :
y(x) = x p
,
где p
- показатель степени. Она зависит от основания степени x
.
Обратной к степенной функции является также степенная функция:
.
При целом неотрицательном значении показателя p
она является многочленом. При целом значении p
- рациональной функцией. При рациональном значении - иррациональной функцией.
Трансцендентные функции
Показательная функция :
y(x) = a x
,
где a
- основание степени. Она зависит от показателя степени x
.
Обратная функция - логарифм по основанию a
:
x = log
a y
.
Экспонента, е в степени х :
y(x) = e x
,
Это показательная функция, производная которой равна самой функции:
.
Основанием степени экспоненты является число e
:
≈ 2,718281828459045...
.
Обратная функция - натуральный логарифм - логарифм по основанию числа e
:
x = ln
y ≡ log
e y
.
Тригонометрические функции :
Синус : ;
Косинус : ;
Тангенс : ;
Котангенс : ;
Здесь i
- мнимая единица, i 2 = -1
.
Обратные тригонометрические функции :
Арксинус: x = arcsin
y
,
;
Арккосинус: x = arccos
y
,
;
Арктангенс: x = arctg
y
,
;
Арккотангенс: x = arcctg
y
,
.
Рассматривая функции комплексного переменного, Лиувилль определил элементарные функции несколько шире. Элементарная функция y переменной x - аналитическая функция , которая может быть представлена как алгебраическая функция от x и функций , причем является логарифмом или экспонентой от некоторой алгебраической функции g 1 от x .
Например, sin(x ) - алгебраическая функция от e i x .
Не ограничивая общности рассмотрения, можно считать функции алгебраически независимы, то есть если алгебраическое уравнение выполняется для всех x , то все коэффициенты полинома равны нулю.
Дифференцирование элементарных функций
где z 1 "(z ) равно или g 1 " / g 1 или z 1 g 1 " в зависимости от того, логарифм ли z 1 или экспонента и т. д. На практике удобно использовать таблицу производных .
Интегрирование элементарных функций
Теорема Лиувилля является основой для создания алгоритмов символьного интегрирования элементарных функций, реализуемых, напр., в
Вычисление пределов
Теория Лиувилля не распространяется на вычисление пределов . Не известно, существует ли алгоритм, который по заданной элементарной формулой последовательности дает ответ, имеет ли она предел или нет. Например, открыт вопрос о том, сходится ли последовательность .
Литература
- J. Liouville. Mémoire sur l’intégration d’une classe de fonctions transcendantes // J. Reine Angew. Math. Bd. 13, p. 93-118. (1835)
- J.F. Ritt. Integration in Finite Terms . N.-Y., 1949// http://lib.homelinux.org
- А. Г. Хованский. Топологическая теория Галуа: разрешимость и неразрешимость уравнений в конечном виде Гл. 1. M, 2007
Примечания
Wikimedia Foundation . 2010 .
- Элементарное возбуждение
- Элементарный исход
Смотреть что такое "Элементарная функция" в других словарях:
элементарная функция - Функция, которая, если ее разделить на более мелкие функции, не сможет быть однозначно определена в иерархии цифровой передачи. Следовательно, с точки зрения сети она является неделимой (МСЭ T G.806). Тематики электросвязь, основные понятия EN adaptation functionA … Справочник технического переводчика
функция взаимодействия между уровнями сети - Элементарная функция, которая обеспечивает взаимодействие характеристической информации между двумя уровнями сети. (МСЭ T G.806). Тематики электросвязь, основные понятия EN layer… … Справочник технического переводчика